On considère un pendule simple constitué d'un objet M de tetites dimensions, de masse m, suspendu à l'extrémité libre d'un fil inextensible de longueur l, l'autre extrémité A du fil est animé d'un mouvement vertical Z_A= Z₀ cos (Wt), l'axe des z étant vertical ascendant. On se limite au cas des petites oscillations.

1. Montrer que l'angle q vérifie l'équation différentielle: q" + w₀²[1-Z₀ /g W² cos(Wt)]q = 0 avec w₀² = g / l.
2. Connaissez vous d'autres oscillateurs de ce type?

résonance paramètrique :

On écrit l'équation correspondant à un tel oscillateur sous la forme :

1. x" + w₀² [1+a cos(Wt+F)]x=0
   ou sous une forme plus explicite : mx" + kx + Kx cos(Wt+F)=0
   que l'on peut modéliser par un oscillateur harmonique de translation auquel on a ajouté une force appelée la pompe de valeur algébrique F_p = -Kx cos(Wt+F)
   Dans une approximation grossière, on suppose que les oscillations ont lieu à la pulsation w₀
   et on pose x(t) = X₀ cos(w₀t).
2. Ecrire l'expression de la puissance instantannée développée par la pompe. Montrer que si on moyenne sur un intervalle de temps suffisamment grand, que l'on pourra préciser, la puissance moyenne obtenue est nulle sauf si W=2w₀.
   - Que vaut cette puissance moyenne.

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corrigé

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Puissance instantanée de la force F_p :

p(t) = KX²₀ w₀ sin(w₀t) cos(w₀t) cos(Wt+F)

p(t) =1 / 4 KX²₀ w₀[sin[(2w₀+W)t +F] + sin[(2w₀-W)t -F]]

Rechercher la moyenne sur une durée T multiple commun à 2p / ((2w₀+W) et à 2p / ((2w₀-W). La valeur moyenne des termes sinusoïdaux est nulle sauf si W=2w₀. La puissance moyenne est égale à :

P= -1 / 4 KX²₀ w₀ sinF.

si sinF est négatif alors P est positive et en conséquence l'énergie du pendule augmente. Phénomène de "résonance paramètrique " permettant d'amplifier les oscillations de fréquence égale à la moitié de la fréquence excitatrice.

 expérience de Melde modifiée :

Utiliser les résultats précédents pour interpréter l'expérience schématisée ci-dessous, c'est à dire pour comparer le second montage à l'expérience plus classique de Melde représenté au-dessus.

Ordre de grandeur: la corde a une masse linéïque de 0,8 g / m, une longueur utile de 0,5 m et est tendue par le poids d'une masse de 50 g. Le diapason représente un système qui vibre à la fréquence de 50 Hz.